Translation for "yksikköympyrä" to english

Yksikköympyrä

• the unit circle
• unit circle

Translation examples

the unit circle

Olkoon S 1 {\displaystyle S^{1}} yksikköympyrä.
For instance, {z | z z* = 1} is the unit circle.

Trigono­metristen funktioiden pari (sin x, cos x) muodostaa yksikköympyrän erään parametri­esityksen.
The pair of trigonometric functions (sin x, cos x) can be thought of as parametrizing the unit circle.

Alkeellisessa aritmeettisessa geometriassa yksikköympyrän stereo­grafinen projektio tarjoaa keinon löytää kaikki Pythagoraan kolmikot.
In elementary arithmetic geometry, stereographic projection from the unit circle provides a means to describe all primitive Pythagorean triples.

Jokaiseen yksikköympyrän pisteeseen voidaan liittää positiivisen x-akselin sekä origosta kyseiseen pisteeseen johtavan janan välinen kulma.
To every point on the unit circle we can associate the angle of the positive x-axis with the ray connecting the point with the origin.

Yksikköympyrän etu on kuitenkin se, että se sallii trigonometristen funktioiden määrittelyjoukon luontevan laajentamisen kaikille positiivisille ja negatiivisille kulmille sen sijaan, että hyväksyttäisiin kulman arvot ainoastaan välillä 0° < θ < 90°.
While right-angled triangle definitions permit the definition of the trigonometric functions for angles between 0 and π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} radian (90°), the unit circle definitions allow to extend the domain of the trigonometric functions to all positive and negative real numbers.

Stereo­grafisen projektion avulla sille voidaan muodostaa toinenkin parametriesitys: cos ⁡ x = t 2 − 1 t 2 + 1 , sin ⁡ x = 2 t t 2 + 1 . {\displaystyle \cos x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\quad \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1}}.} Tällä parametrisaatiolla pituusalkio yksikköympyrän pituusalkio dx saadaan muotoon d x = 2 d t t 2 + 1 . {\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}.} Alkion dx korvaaminen tällä lausekkeella yksinkertaistaa toisinaan trigonometrisia funktioita sisältävien lausekkeiden integrointia.
The stereographic projection gives an alternative parametrization of the unit circle: cos ⁡ x = t 2 − 1 t 2 + 1 , sin ⁡ x = 2 t t 2 + 1 . {\displaystyle \cos x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\quad \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1}}.} Under this reparametrization, the length element dx of the unit circle goes over to d x = 2 d t t 2 + 1 . {\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}.} This substitution can sometimes simplify integrals involving trigonometric functions.

Itse asiassa sellaisen ympyrän, jonka säde on b {\displaystyle b} ja keskipiste ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} , pedaalikäyrällä origon suhteen on yhtälö r = b + a cos ⁡ θ {\displaystyle r=b+a\cos \theta } Pascalin silmukan r = b + a cos ⁡ θ {\displaystyle r=b+a\cos \theta } inversio yksikköympyrän suhteen on r = 1 b + a cos ⁡ θ {\displaystyle r={1 \over {b+a\cos \theta }}} .
In fact, the pedal with respect to the origin of the circle with radius b {\displaystyle b} and center ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} has polar equation r = b + a cos ⁡ θ {\displaystyle r=b+a\cos \theta } The inverse with respect to the unit circle of r = b + a cos ⁡ θ {\displaystyle r=b+a\cos \theta } is r = 1 b + a cos ⁡ θ {\displaystyle r={1 \over {b+a\cos \theta }}} which is the equation of a conic section with eccentricity a/b and focus at the origin.

Toisin sanoen jos : P on pallopinnan piste, ei kuitenkaan pohjoisnapa N eikä sen antipodi eli etelänapa S, P′ on P:n kuvapiste stereo­grafisessa projektiossa, jonka projektiopiste on P ja P″ on P:n kuvapiste stereo­grafisessa projektiossa, jonka projektiopiste on N, niin P′ ja P″ ovat toistensa kuvapisteet inversiossa yksikköympyrän suhteen. △ N O P ′ ∼ △ P ′ ′ O S ⟹ O P ′ : O N = O S : O P ′ ′ ⟹ O P ′ ⋅ O P ′ ′ = r 2 {\displaystyle \triangle NOP^{\prime }\sim \triangle P^{\prime \prime }OS\implies OP^{\prime }:ON=OS:OP^{\prime \prime }\implies OP^{\prime }\cdot OP^{\prime \prime }=r^{2}} Stereografisen projektion mukaisia kaavioita voidaan tulostaa tietokoneella käyttämällä edellä esitettyjä kaavoja.
In other words, if: P is a point on the sphere, but not a 'north pole' N and not its antipode, the 'south pole' S, P′ is the image of P in a stereographic projection with the projection point N and P″ is the image of P in a stereographic projection with the projection point S, then P′ and P″ are inversive images of each other in the unit circle. △ N O P ′ ∼ △ P ′ ′ O S ⟹ O P ′ : O N = O S : O P ′ ′ ⟹ O P ′ ⋅ O P ′ ′ = r 2 {\displaystyle \triangle NOP^{\prime }\sim \triangle P^{\prime \prime }OS\implies OP^{\prime }:ON=OS:OP^{\prime \prime }\implies OP^{\prime }\cdot OP^{\prime \prime }=r^{2}} Stereographic projection plots can be carried out by a computer using the explicit formulas given above.