Translation for "kroneckerin" to english

Kroneckerin

• kronecker

Translation examples

kronecker

1891 – Leopold Kronecker, saksalainen matemaatikko (Kroneckerin delta) (s.
1825) 1891 – Leopold Kronecker, German mathematician (b.

Kronecker kirjoitti (ks. esimerkki):
Kronecker wrote (see for example):

Kronecker otti näihin aiheisiin:
Kronecker took up these themes:

Tämä lisäsi Kronecker vaikutusvaltaa Berliinissä.
This increased Kronecker's influence in Be

Kronecker oli opettanut matematiikkaa klo Liegnitz Gymnasium, Kummer, ja se johtui Kummer, Kronecker tuli kiinnostunut matematiikasta.
Kronecker was taught mathematics at Liegnitz Gymnasium by Kummer, and it was due to Kummer that Kronecker became interested in mathematics.

Kronecker ei houkutella suuri määrä opiskelijoita.
Kronecker did not attract great numbers of students.

Berliinissä hän tapasi Kronecker, Kummer ja Weierstrass.
In Berlin he met Kronecker, Kummer and Weierstrass .

Cantor osallistui luentoja, Weierstrass, Kummer ja Kronecker.
Cantor attended lectures by Weierstrass, Kummer and Kronecker .

29. joulukuuta – Leopold Kronecker, saksalainen matemaatikko (s.
December 29 – Leopold Kronecker, Polish-born German mathematician, academic (b.

Berliinissä, Dedekindin täyttyvät Weierstrass, Kummer, Borchardt ja Kronecker.
In Berlin, Dedekind met Weierstrass, Kummer, Borchardt and Kronecker .

1771) 1891 – Leopold Kronecker, saksalainen matemaatikko (Kroneckerin delta) (s.
1826) 1891 – Leopold Kronecker, Polish-German mathematician and academic (b.

1822) 29. joulukuuta – Leopold Kronecker, saksalainen matemaatikko (s.
1828) December 29 – Leopold Kronecker, Polish-born German mathematician, academic (b.

Cantorin matemaatikkokollegat Karl Weierstrass ja Dedekind tukivat häntä, mutta eriäviä mielipiteitä esitti Leopold Kronecker, jota pidetään nykyisin matemaattisen konstrukti­vismin perustajana.
While Karl Weierstrass and Dedekind supported Cantor, Leopold Kronecker, now seen as a founder of mathematical constructivism, did not.

Yleisin joukko-oppiin kohdistunut vastaväite, jonka Kronecker esitti jo sen varhaisvuosina, lähtee konstruktivistisesta näkemyksestä, jonka mukaan matematiikka liittyy laskemiseen.
The most common objection to set theory, one Kronecker voiced in set theory's earliest years, starts from the constructivist view that mathematics is loosely related to computation.

Hermiten ja Kroneckerin kehittämillä menetelmillä hän muotoili samankaltaisia tuloksia kuin Brioschi ja sai ongelman täydellisesti ratkaisuksi ikosaedri­ryhmien avulla.
Building on the methods of Charles Hermite and Leopold Kronecker, he produced similar results to those of Brioschi and later completely solved the problem by means of the icosahedral group.

G = k 1 b 1 + k 2 b 2 + k 3 b 3 {\displaystyle \mathbf {G} =k_{1}\mathbf {b} _{1}+k_{2}\mathbf {b} _{2}+k_{3}\mathbf {b} _{3}} Edellä esitetystä b 1 {\displaystyle \mathbf {b} _{1}} :n määritelmästä seuraa, että b i ⋅ a j = 2 π δ i j {\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}} missä δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} on Kroneckerin delta.
G = k 1 b 1 + k 2 b 2 + k 3 b 3 {\displaystyle \mathbf {G} =k_{1}\mathbf {b} _{1}+k_{2}\mathbf {b} _{2}+k_{3}\mathbf {b} _{3}} From our earlier definition of b 1 {\displaystyle \mathbf {b} _{1}} , we can see that: b i ⋅ a j = 2 π δ i j {\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}} where δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} is the Kronecker delta.

Koska ne ovat yksikön pituisia, on e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1} ja koska ne ovat keskenään kohtisuorassa, jos i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , on e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.} Tällöin voidaan todeta, että kaikissa tapauksissa pätee: e i ⋅ e j = δ i j . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.} missä δ i j {\displaystyle \delta _{i}j} on Kroneckerin delta.
Hence since these vectors have unit length e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1} and since they form right angles with each other, if i ≠ j, e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.} Thus in general we can say that: e i ⋅ e j = δ i j . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.} Where δ ij is the Kronecker delta.

Jos oletetaan kaksi kiinteän kulman θ toisistaan erottamaa, yksikkö­vektorien määrittelemää vertailu­järjestelmää n ^ = ( n ^ 1 , n ^ 2 , n ^ 3 ) , {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3})\,,} matriisin Λ komponentit ovat: Λ 00 = 1 {\displaystyle \Lambda _{00}=1} Λ 0 i = Λ i 0 = 0 {\displaystyle \Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}=0} Λ i j = ( δ i j − n ^ i n ^ j ) cos ⁡ θ − ε i j k n ^ k sin ⁡ θ + n ^ i n ^ j {\displaystyle \Lambda _{ij}=(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}} missä dij on Kroneckerin delta ja eijk on kolmiulotteinen Levin-Civitan symboli.
For two frames rotated by a fixed angle θ about an axis defined by the unit vector: n ^ = ( n ^ 1 , n ^ 2 , n ^ 3 ) , {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3})\,,} without any boosts, the matrix Λ has components given by: Λ 00 = 1 {\displaystyle \Lambda _{00}=1} Λ 0 i = Λ i 0 = 0 {\displaystyle \Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}=0} Λ i j = ( δ i j − n ^ i n ^ j ) cos ⁡ θ − ε i j k n ^ k sin ⁡ θ + n ^ i n ^ j {\displaystyle \Lambda _{ij}=(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}} where δij is the Kronecker delta, and εijk is the three-dimensional Levi-Civita symbol.

Jos rotaatio tapahtuu vain z-akselin ympäri, Lorentzin matriisin paikan­luontoinen osa yksin­kertaistuu rotaatiomatriisiksi z-akselin ympäri: ( A ′ 0 A ′ 1 A ′ 2 A ′ 3 ) = ( 1 0 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 0 1 ) ( A 0 A 1 A 2 A 3 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .} Kun kaksi vertailu­järjestelmää liikkuu toistensa suhteen tasaisella nopeudella v (tässä tarkoitetaan tavan­omaista nopeutta kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ei jäljempänä määriteltävää neli­nopeutta), on kätevää käyttää suhteellisen nopeuden yksikkönä valon­nopeutta c seuraavasti: β = ( β 1 , β 2 , β 3 ) = 1 c ( v 1 , v 2 , v 3 ) = 1 c v . {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.} Täten kun rotaatiota ei ole eli molempien vertailu­järjestelmien koordinaatti­akselit ovat saman­suuntaiset, matriisin Λ komponentit ovat: Λ 00 = γ , Λ 0 i = Λ i 0 = − γ β i , Λ i j = Λ j i = ( γ − 1 ) β i β j β 2 + δ i j = ( γ − 1 ) v i v j v 2 + δ i j , {\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}&=\Lambda _{i0}=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}&=\Lambda _{ji}=(\gamma -1){\dfrac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\dfrac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}\,\!} missä γ {\displaystyle \gamma } on Lorentzin tekijä γ = 1 1 − β ⋅ β , {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,} ja δij on Kroneckerin delta.
For the case of rotations about the z-axis only, the spacelike part of the Lorentz matrix reduces to the rotation matrix about the z-axis: ( A ′ 0 A ′ 1 A ′ 2 A ′ 3 ) = ( 1 0 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 0 1 ) ( A 0 A 1 A 2 A 3 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .} For two frames moving at constant relative three-velocity v (not four-velocity, see below), it is convenient to denote and define the relative velocity in units of c by: β = ( β 1 , β 2 , β 3 ) = 1 c ( v 1 , v 2 , v 3 ) = 1 c v . {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.} Then without rotations, the matrix Λ has components given by: Λ 00 = γ , Λ 0 i = Λ i 0 = − γ β i , Λ i j = Λ j i = ( γ − 1 ) β i β j β 2 + δ i j = ( γ − 1 ) v i v j v 2 + δ i j , {\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}&=\Lambda _{i0}=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}&=\Lambda _{ji}=(\gamma -1){\dfrac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\dfrac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}\,\!} where the Lorentz factor is defined by: γ = 1 1 − β ⋅ β , {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,} and δij is the Kronecker delta.