Similar context phrases
Translation examples
Now we assume that it holds for a certain (i. e. it holds for all n-gons), and we have to show that it holds for n + 1 (i. e. for all (n + 1)-gons).
Nyt voimme olettaa, että se pätee tietty (eli se pätee kaikkiin n-gons), ja meidän on osoitettava, että se pätee n + 1 (eli kaikki (n + 1)-gons).
holds for any (the sum on the left consists of summands).
pätee minkä tahansa (summa vasemmalla koostuu summands).
The same holds for many OECD countries, especially in Europe.
Sama pätee monissa muissakin OECD-maissa, eritoten Euroopassa.
(b) Does the same hold for a non-commutative group? 3
(b) Päteekö sama pidettävä ei-kommutatiivinen ryhmä? 3
A similar result holds for the ratio of the number of thick rhombs to thin rhombs in the P3 Penrose tiling.
Vastaava tulos pätee myös paksujen ja ohuiden suunnikkaiden lukumäärälle P3-laatoituksessa..
The maximum principle also holds for the more general subharmonic functions, while superharmonic functions satisfy the minimum principle.
Maksimiperiaate pätee myös subharmonisille funktioille, monet muut harmonisia funktioita koskevat tulokset sen sijaan eivät.
The rule holds for systems of equations with coefficients and unknowns in any field, not just in the real numbers.
Sääntö pätee lineaarisille yhtälöryhmille, jonka kertoimet ja vakiot kuuluvat mihin tahansa kuntaan, ei ainoastaan reaaliluvuille.
Although the above correspondence with holomorphic functions only holds for functions of two real variables, harmonic functions in n variables still enjoy a number of properties typical of holomorphic functions.
Vaikka tämä yhteys harmonisten ja holomorfisten funktioiden välillä pätee vain kahden reaalimuuttujan tapauksessa, useammankin muuttujan harmonisilla funktioilla on holomorfisten funktioiden kanssa monia yhteisiä ominaisuuksia.
In particular, it implies that with probability 1, we have that for any ε > 0 the inequality | X ¯ n − μ | < ε {\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon } holds for all large enough n.
Erityisesti siitä seuraa, että todennäköisyydellä 1 jokaiselle ε > 0 epäyhtälö | X ¯ n − μ | < ε {\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon } pätee kaikilla riittävän suurilla arvoilla n. Seuraavissa tapauksissa vahva suurten lukujen laki ei päde, heikko laki kylläkin.
The conjecture states that the inequality p n + 1 − p n < 1 {\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1} holds for all n {\displaystyle n} , where p n {\displaystyle p_{n}} is the nth prime number.
Konjektuuri sanoo että epäyhtälö p n + 1 − p n < 1 {\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1} pätee kaikille n {\displaystyle n} , missä p n {\displaystyle p_{n}} on n:s alkuluku.
Then for every connected set V ⊂ V ¯ ⊂ Ω , {\displaystyle V\subset {\overline {V}}\subset \Omega ,} Harnack's inequality sup V u ≤ C inf V u {\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u} holds for some constant C that depends only on V and Ω.
Silloin jokaisessa yhtenäisessä joukossa V ⊂ V ¯ ⊂ Ω , {\displaystyle V\subset {\overline {V}}\subset \Omega ,} Harnackin epäyhtälö sup V u ≤ C inf V u {\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u} pätee jollakin vakiolla C, joka riippuu vain V:stä ja alueesta Ω.
A (covariant) functor F from a category C to a category D, written F : C → D, consists of: for each object x in C, an object F(x) in D; and for each morphism f : x → y in C, a morphism F(f) : F(x) → F(y), such that the following two properties hold: For every object x in C, F(1x) = 1F(x); For all morphisms f : x → y and g : y → z, F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).
Kovariantin funktorin f kategoriasta C kategoriaan D, jolle käytetään merkintää F : C → D, muodostavat: jokaista C:n objektia x kohti D:n objekti F(x) ja jokaista C:n morfismia f : x → y kohti D:n morfismi F(f) : F(x) → F(y), jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot: Jokaiselle C:n objektille x pätee F(1x) = 1F(x); Kaikille morfismeille f : x → y ja g : y → z pätee F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).
One of which is Dirichlet's principle, representing harmonic functions in the Sobolev space H1(Ω) as the minimizers of the Dirichlet energy integral J ( u ) := ∫ Ω | ∇ u | 2 d x {\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx} with respect to local variations, that is, all functions u ∈ H 1 ( Ω ) {\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )} such that J(u) ≤ J(u + v) holds for all v ∈ C c ∞ ( Ω ) , {\displaystyle v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),} or equivalently, for all v ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega ).} Harmonic functions can be defined on an arbitrary Riemannian manifold, using the Laplace–Beltrami operator Δ.
Yksi niistä on Dirichletin periaate, joka kuvaa Sobolevin avaruuden H1(Ω) harmoniset funktiot funktioina, jotka minimoivat Dirichletin energiaintegraalin J ( u ) := ∫ Ω | ∇ u | 2 d x {\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx} lokaalisten variaatioiden osalta, toisin sanoen kaikkien sellaisten funktioiden u ∈ H 1 ( Ω ) {\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )} osalta, joille J(u) ≤ J(u + v) pätee kaikilla arvoilla v ∈ C c ∞ ( Ω ) , {\displaystyle v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),} tai yhtäpitävästi kaikilla arvoilla v ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega ).} Harmoniset funktiot voidaan määritellä millä tahansa Riemannin monistolla käyttämällä Laplacen–Beltramin operaattoria Δ.
Expressed mathematically, this assumption may be written as ∫ Ω ′ L ( α A , α A , ν , ξ μ ) d 4 ξ − ∫ Ω L ( φ A , φ A , ν , x μ ) d 4 x = 0 {\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0} where the comma subscript indicates a partial derivative with respect to the coordinate(s) that follows the comma, e.g. φ A , σ = ∂ φ A ∂ x σ . {\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.} Since ξ is a dummy variable of integration, and since the change in the boundary Ω is infinitesimal by assumption, the two integrals may be combined using the four-dimensional version of the divergence theorem into the following form ∫ Ω { + ∂ ∂ x σ } d 4 x = 0 . {\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\right\}d^{4}x=0\,.} The difference in Lagrangians can be written to first-order in the infinitesimal variations as = ∂ L ∂ φ A δ ¯ φ A + ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A , σ . {\displaystyle \left={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.} However, because the variations are defined at the same point as described above, the variation and the derivative can be done in reverse order; they commute δ ¯ φ A , σ = δ ¯ ∂ φ A ∂ x σ = ∂ ∂ x σ ( δ ¯ φ A ) . {\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}({\bar {\delta }}\varphi ^{A})\,.} Using the Euler–Lagrange field equations ∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ φ A , σ ) = ∂ L ∂ φ A {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}} the difference in Lagrangians can be written neatly as = ∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ φ A , σ ) δ ¯ φ A + ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A , σ = ∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\\={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}} Thus, the change in the action can be written as ∫ Ω ∂ ∂ x σ { ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A + L ( φ A , φ A , ν , x μ ) δ x σ } d 4 x = 0 . {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.} Since this holds for any region Ω, the integrand must be zero ∂ ∂ x σ { ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A + L ( φ A , φ A , ν , x μ ) δ x σ } = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.} For any combination of the various symmetry transformations, the perturbation can be written δ x μ = ε X μ {\displaystyle \delta x^{\mu }=\varepsilon X^{\mu }} δ φ A = ε Ψ A = δ ¯ φ A + ε L X φ A {\displaystyle \delta \varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}} where L X φ A {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}} is the Lie derivative of φA in the Xμ direction.
Matemaattisesti tämä oletus voidaan kirjoittaa seuraavasti: ∫ Ω ′ L ( α A , α A , ν , ξ μ ) d 4 ξ − ∫ Ω L ( ϕ A , ϕ A , ν , x μ ) d 4 x = 0 {\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0} missä muuttujien jälkeen yläpuolelle kirjoitetut pilkut tarkoittavat osittaisderivaattoja niiden koordinaattien suhteen, jotka seuraavat pilkun jälkeen, toisin sanoen ϕ A , σ = ∂ ϕ A ∂ x σ . {\displaystyle {\phi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \phi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.} Koska ξ on pelkkä integroimisvakio ja koska rajan Ω muutos oletettiin infinitesimaaliseksi, nämä kaksi integraalia voidaan yhdistää divergenssilauseen neliulotteisen version mukaisesti seuraavaan muotoon: ∫ Ω { + ∂ ∂ x σ } d 4 x = 0 . {\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\right\}d^{4}x=0\,.} Lagrangen funktioiden erotus voidaan kirjoittaa ensimmäisessä kertaluvuissa infinitesimaalisilla muutoksilla: = ∂ L ∂ ϕ A δ ¯ ϕ A + ∂ L ∂ ϕ A , σ δ ¯ ϕ A , σ . {\displaystyle \left={\frac {\partial L}{\partial \phi ^{A}}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }\,.} Koska nämä muutokset kuitenkin on määritelty samassa edellä selityssä pisteessä, muutokset ja derivoinnit voidaan suorittaa myös päinvastaisessa järjestyksessä; ne kommutoivat: δ ¯ ϕ A , σ = δ ¯ ∂ ϕ A ∂ x σ = ∂ ∂ x σ ( δ ¯ ϕ A ) . {\displaystyle {\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \phi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\phi ^{A}\right)\,.} Käyttämällä Eulerin-Lagrangen kenttäyhtälöä ∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ ϕ A , σ ) = ∂ L ∂ ϕ A {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \phi ^{A}}}} Lagrangen funktioiden erotus voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti muotoon = ∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ ϕ A , σ ) δ ¯ ϕ A + ∂ L ∂ ϕ A , σ δ ¯ ϕ A , σ = ∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ ϕ A , σ δ ¯ ϕ A ) . {\displaystyle \left={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\phi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}\right)\,.} Näin ollen aktion muutokseksi saadaan ∫ Ω ∂ ∂ x σ { ∂ L ∂ ϕ A , σ δ ¯ ϕ A + L ( ϕ A , ϕ A , ν , x μ ) δ x σ } d 4 x = 0 . {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.} Koska tämä pätee missä tahansa alueessa Ω, integrandin on oltava nolla ∂ ∂ x σ { ∂ L ∂ ϕ A , σ δ ¯ ϕ A + L ( ϕ A , ϕ A , ν , x μ ) δ x σ } = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.} .
How many English words do you know?
Test your English vocabulary size, and measure how many words you know.
Online Test